ベルヌーイ分布と二項分布

統計学
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離散確率分布のベルヌーイ分布、二項分布について解説します。

離散確率分布ってなに?

離散確率分布は、確率変数を離散変数とする確率分布です。

連続変数は値が幾らでも刻める変数である一方、離散変数は値がとびとびの変数です。

本記事では、離散確率分布の基本であるベルヌーイ分布二項分布について解説します。

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ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は、すべての分布の基本です。

「コインを投げた結果が表か裏か」のように2種類のみの結果しか得られないような試行をベルヌーイ試行といいます。

1回のベルヌーイ試行によって得られる確率分布がベルヌーイ分布です。

確率関数のパラメータは、一方の結果の生起確率pです。

パラメータとは、確率分布を特徴づける値です。

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二項分布

ベルヌーイ分布は、1回のベルヌーイ試行によって得られる確率分布でした。

二項分布は成功確率pのベルヌーイ試行をn回行って、成功する回数Xが従う確率分布です。

二項分布の確率関数のパラメータは、成功確率pと試行回数nです。

n回のベルヌーイ試行で、ちょうどk回成功する確率は、以下の式で与えられます。

例えば、コインを10回投げるとしましょう。

コインの表が出る回数として、確率が1番高くなるのはいくつでしょうか。

10のちょうど半分の5回!

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二項分布の確率関数を使って、表が5回出る確率を計算してみましょう!

コインを投げて表が出る確率は0.5なので、10回投げて5回表が出る確率は次のように計算できます。

同様に、0~10回表が出る確率をそれぞれ計算すると以下になります。

グラフにするとこんな感じです。

表が出る確率は、5回のときが1番高くなっています。

この5という値は分布の真ん中の値、つまり平均を意味しています。

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正規分布も「真ん中の値=平均」だよね!

二項分布って正規分布に似てない?

二項分布は、試行回数nが増えるほど正規分布に近づく性質があります。

生起確率pは0.5に固定し、試行回数nを10ずつ増やしたときの二項分布を以下に示します。

nが大きくなるにつれて、正規分布に近づいてる!

試行回数nが増えるほど、正規分布に近づく性質を中心極限定理といいます。

つまり、二項分布は正規分布に近似できるということです。

正規分布のパラメータは、平均と分散です。

二項分布の平均μと分散σ2は次の式で計算できます。

平均: μ=n×p

分散: σ2=n×p×(1-p)

二項分布を正規分布に近似できたら、何がうれしいの?

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事象の「起こりにくさ」が簡単な計算でわかるようになるぞ!

次の例題で、二項分布を正規分布に近似して事象の「起こりにくさ」を考えてみましょう。

例題

あるメーカーの営業マンは「このマシンで作られる製品の不良率は0.1%」と説明した。この説明を信じた顧客は、このマシンを購入した。マシン購入後、顧客が150個の製品を検査すると3個の不良品が出た。営業マンに問い合わせると「偶然です」との回答が返ってきた。顧客の立場になって、本当に偶然かどうかを確率にもとづき、判断せよ。

以下、解答例です。

まずは二項分布のパラメータを整理します。

試行回数:n = 150
生起確率:p = 0.001

不良品が3個出る確率を求めるために二項分布の確率関数を使用するなら、次の計算が必要になります。

計算めんどくさい。。。

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正規分布に近似してみよう!

正規分布に近似するために、平均と分散、標準偏差を計算します。

平均:μ= n×p = 150×0.001 = 0.15
分散:σ2= n×p×(1-p) = 150 × 0.001 × 0.999 = ‭0.14985‬
標準偏差:σ= 0.3871 (←分散の平方根)

不良数3の「起こりにくさ」を把握するために標準化をします。

Z=(X-μ)/σ = (3 – 0.15)/ 0.3871 = 7.362

不良数3を「平均0、標準偏差1の正規分布」に当てはめた場合の値が7.362という意味です。

下の図から分かるように、7.362という値が発生する確率は限りなく0です。

よって、不良率0.1%のマシンで製造された150個の製品のうち3つの不良品が出る確率は限りなく0に近いので、偶然ではないという判断できます。

標準化については下記で解説しています。

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まとめ

・2種類のみの結果しか得られないような試行をベルヌーイ試行という
ベルヌーイ分布とは成功確率pのベルヌーイ試行を1回行って得られる確率分布である
二項分布とは成功確率pのベルヌーイ試行をn回行ったときに成功する回数Xが従う確率分布である

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参考書籍

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